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衡水精英教育小学奥数知识点梳理-类牛吃草问题例题精讲

2019-3-24 14:41| 发布者: admin| 查看: 179| 评论: 0

类牛吃草问题:是牛吃草问题的变形,经常会碰到的题型如:抽(淘)水问题,检票口检票问题,水库泄洪问题等等,只要理解了这类问题关键的两个不变量:消长速度和原有量,就能够掌握问题的本质和解题思路,以不变应万变。

牛吃草问题的基本公式:

① 草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数);

② 原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;

③ 吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);

④ 牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。

今天我们继续深入探讨此类问题变形,首先我们通过一个进阶例题回顾下牛吃草问题的解题思路。

引例:有一片草场,草每天生长速度不变。如果14头牛30天可将草吃完,70只羊16天也可将草吃完(4只羊1天的吃草量相当于1头牛1天吃草量)。那么17头牛和20只羊多少天可将草吃完?(两种不同动物的牛吃草问题)

思路:这次不是一种动物在吃草了,要把两种不同动物转化为一种动物的吃草问题。

分析:因为4只羊1天吃草量=1头牛1天吃草量,如果我们设每头牛每天吃草量为“1”,那么每只羊每天吃草量为“1/4”,这样出现了分数,不便于计算。所以要转化为饭量比较小的动物,这样就变成一种动物的“羊吃草问题”了。

解题:设:每只羊每天吃草量为“1”,所以每头牛每天的吃草量为“4”。

① 转化:14头牛30天将草吃完→14×4=56只羊30天将草吃完(每头牛饭量是每只羊的四倍);

② 求出草生长速度和原有草量;

③ 转化:17头牛和20只羊 → 17×4+20=88只羊;

④ 将草生长速度(40份/天),原草量(480份),羊数(88只) 带入公式③(可以理解为88只羊派40只羊吃新草,剩下的羊吃原有草量)→ 480÷(88-40)=10天。

牛吃草问题不可死记硬背公式,要真正地理解其中的本质,才能轻松应对各种不同题型,现在进入正题,学习类牛吃草问题,我们按抽(淘)水问题,检票口检票问题,水库泄洪问题三个不同形式的例题来分别详细解析。

淘水问题例题:

一只船发现漏水时,已经进了一些水。水匀速灌进船内,如果10人淘水,3小时淘完;如果5人淘水,8小时淘完。如果要求2小时淘完,需要安排多少人淘水?

思路:人淘水转化为牛吃草。

分析:水匀速灌进船内 → 草匀速生长;已经进了一些水 → 原有草量;人淘水 → 牛吃草。

解题:设每个人每小时淘1份水。

① 求出水灌进速度和原有水量;

② 将水灌进速度(2份/小时),原有水量(24份),淘完要求时间(2小时) 带入公式④(可以理解为除了淘出原有水量还要增派2个人来淘新灌进水量)→ 24÷2+2=14人。

检票口检票问题例题:

画展9点开门,但早有人来排队入场,从第一个观众来到时,每分钟来的观众一样多。如果开3个检票口,9点9分就不再有人排队;如果开5个检票口,9点5分就没有人排队。求第一个观众到达的时间?

思路:检票口入场转化为牛吃草。

分析:每分钟来的观众一样多 → 草匀速生长;早有人来排队 → 原有草量;检票口入场 → 牛吃草。

解题:设每个检票口每分钟进“1”。

① 求出观众新增速度和原有排队人数。9点开门,两种不同情况分别用了9分钟和5分钟

② 观众新增速度(0.5份/分钟),原有排队观众量(22.5份),因为9点之前没开门,原有排队观众量是从第一个开始逐渐增多累加的。

累加所需时间为:22.5÷0.5=45分钟,因为9点开门,所以第一个观众到达时间为8点15分。

水库泄洪问题例题:

某水库建有若干个泄洪闸,现有水库的水位已经超过安全线,上游河水还在按不变的速度流入,为了防洪,需调节泄洪速度.假设每个闸门泄洪速度相同,经测算,若打开一个泄洪闸,28小时水位降至安全线;若打开3个泄洪闸,7个小时水位降至安全线.现在抗洪指挥部要求在4小时使水位降至安全线以下,至少要同时打开几个闸门?

思路:泄洪闸泄洪转化为牛吃草。泄洪完成指将超出安全线的水量泄完至安全线。

分析:上游河水不变的速度流入 → 草匀速生长;超过水库安全线的水量 → 原有草量;泄洪闸泄洪 → 牛吃草。

解题:设每个泄洪闸每小时泄洪量为“1”。

① 求出上游河水流入速度和超过安全线的水量。

② 将河水流入速度(1/3份/分钟),超过安全线的水量(56/3份),泄洪要求完成时间(4小时)带入公式④。(可以理解为除了排出超过安全线水量还要增开1/3个泄洪闸来泄河水流入量)56/3÷4+1/3=15/3=5个泄洪闸。

总结:类牛吃草问题,只要通过把不同形式问题想象转化为牛吃草问题,就可以迎刃而解了。

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